日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 h3mlx8d|#  
gJ]9}|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \}2 |@GJF  
;;&w_@-g2  
　　1、三角函数本质： i (SSY3U  
kZ.P3_7Q  
　　三角函数的本质来源于定义 =CQNL'[r  
5)Gz3-N-d  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 -gyla;:  
Njw@.5UU  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 #TQ:,C]x  
6>Q+d]ho$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： s>7h6  
ZTYEu? Vx  
　　推导： wmL2NQ!  
s"v:=y2  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 sp.Z jo"&  
60"\g  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4 (P '  
3h/\ ;  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) r2q+4{l[  
tshEXfb.F  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 X knb_Z  
|%Rl;X  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \b;_Sf)  
w%8.L:&  
　　[1] *auq nv6  
T< wZbaY  
　　两角和公式 RKr[!Pg  
RnqES#zc  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB /@+_&LsN  
H/LmJ  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  &m=Mz>   
DM@.GG5  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB -L"0Idedb  
\v"N|8@p  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 5h^6&U?3.  
?MJN|rh  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)  )n;_9P  
][Xh{c&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) utR#u7Cnj  
-Ky/0c  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  VHrM&Jb%n  
a Kqhz`  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) XT/= ^(u\  
LwuQ1^  
倍角公式 *qZRl7L"  
~:u4M|k  
　　Sin2A=2SinA•CosA |8Wdg&/^  
!K[RK,n  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 D'P>y"BZ  
Gx-<l 0  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） w+|6r  
9_YG0t_pL  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .{v\5_V  
)_}  
三倍角公式 oF?8ixQ `  
] +1Z-ul  
　　 H14]$kttK  
{/f2>uk  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 9KCDD;{D  
t#mHj|ia  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ?As;HTMK  
xiy~5/J4y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) `l2F{3}DSh  
,wMdtJ  
三倍角公式推导 Box{VO  
N4 .I 7Yb  
　　sin3a XQ&DZ5  
\XE;j^ET  
　　=sin(2a+a) #|0-S;@\|y  
9ik6wV^  
　　=sin2acosa+cos2asina Z BEDu&  
{"\,$Zx]b  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina zSJz+Qj  
`rX2,-  
　　=3sina-4sin³a F>'s@0  
HlUW][#  
　　cos3a Q','kWD*  
aJ a`/&  
　　=cos(2a+a) HvSd+mr  
-rY@MvY  
　　=cos2acosa-sin2asina ]$tw ^whl  
',bD9w' w  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 'Uv4  
Sxc]}khS@  
　　=4cos³a-3cosa W yk@s8  
otb g%-,  
　　sin3a=3sina-4sin³a tI?XB  
Z?H@S  
　　=4sina(3/4-sin²a) `D;wn  
$p\iedC  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] scL Iy9ts  
5*Ll"p{?&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) rYVn=x  
=*Pu Y<%  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) X}=GC@<W)  
#n.OqXovL  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] w+!t?.  
^J_pmNt  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) /2 ^.84rZ|  
l xwy&  
　　cos3a=4cos³a-3cosa (DfES^#m"  
O-z?v$r  
　　=4cosa(cos²a-3/4) !UC/c]$:=  
U&|Y|ik[m  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] |!EA[)r-?  
mI0i+uSf  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) JT_Ph  
a} ZH  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) :(`Z 7DU  
B*pr\'j  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} p{\G9\P  
{Yg"|/_t  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) < zZ@h&TW  
 rB .ln  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] {V?a8.a*  
g)! ~y!x3  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 35rR}XK]0$  
fA]MztU  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) i VrN@HAQ  
=:^:_H)aZ  
　　上述两式相比可得 A/(m(pn  
Q9Q  c)~  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4}#"?Y   
5`9\ !  
半角公式 ^+&*?9PLN  
 wt@97vDL  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 6.Y)9FyV  
381sa?$en  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >Zp]xU_  
ff3W a;<:=  
和差化积 JR@^^  
@_ z_  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1 z\Zn8&RG  
|5i:?0t  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _[i)3Y-mC  
F5=kj8fVgE  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 'oJf  \2  
VL/Zd5lF  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $8$GfbIzS  
4:(*1W  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) >Y ' [({  
WC$`Og][;  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 9 .Wd OW/  
7"]G0XmI  
积化和差 1AQ&8k@fj  
j-^)kd;h  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M=gHbX+  
D'3vl[  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $C# %s  
1Ebq#a X(w  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] k\< '-]  
t AwN6z  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4 d&$}B  
[0izMU~W  
诱导公式 E>`hUj\Q  
RJl8Ilpm  
　　sin(-α) = -sinα aF00|h0"  
k6yW03  
　　cos(-α) = cosα K8e_j<<",  
i}^w&V<  
　　sin(π/2-α) = cosα !7 f afm!  
f(u)sO  
　　cos(π/2-α) = sinα V@2%/~6  
woMGny:>`  
　　sin(π/2+α) = cosα nLf,__   
{: P`  
　　cos(π/2+α) = -sinα LHm6w=;J  
(N2:d0`F1z  
　　sin(π-α) = sinα zusX`i  
ltD_YK'"O  
　　cos(π-α) = -cosα *U_)}W  
mqb;zA=K"R  
　　sin(π+α) = -sinα }= `zR# v  
e8W)?k.  
　　cos(π+α) = -cosα J)E-fS}3l  
ep2Azoj  
　　tanA= sinA/cosA #mjDB<  
*:QLN5b B  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7Ed"<OS  
~691Yd4  
　　tan（π/2－α）＝cotα "9b: V+{>  
{ ]/t":  
　　tan（π－α）＝－tanα nf$\lc&  
}h\VsH^  
　　tan（π＋α）＝tanα $Fq7\J  
%IvI jdT  
万能公式 N^}o:9A  
3i>FB\` G  
　　 5(Q$4xkG&  
ZO`4:j]6  
其它公式 6r%q7U'H  
sJ;Nw&._u  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2SPxq'M*  
b3\:xFc1AN  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 y05Kj4C  
fA7dDrK"P  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ywA.__gE  
|aOe@9b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 H <I<8%-E  
y(LD zA  
　　对于任意非直角三角形,总有 jBXty8-]  
2T :|8p  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC dRrl|qwP  
y0^rDVr1  
　　证: K]M3 I7f4  
R4Jw.R1Uk  
　　A+B=π-C GUP, @s  
qj ByU?kL  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "?/i=5(L  
IJf#'p(fp  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "t)<K0-b  
" 6ON`'b%  
　　整理可得 %-T9{w1x  
6:/%?$}j/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P8YV$3"^U  
Kt?#<%  
　　得证 jmS+c\W{*  
OaLvevHY  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =)=T)oAu  
JXZ5_ AG  
其他非重点三角函数 68rD@$lB  
X\"s)E  
　　csc(a) = 1/sin(a) +fu{hg.7n  
FN4x51-SGW  
　　sec(a) = 1/cos(a) _T9I|.qtj  
4\ orp{PA  
　　 5ie-@t0  
P/Wgbx  
双曲函数 f8-?_ [Z  
m%^=9u^  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 8-du$lOML  
`ePR. P<F  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 2> (5 {!}  
[ iI:<Q2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;-&ttLIHL  
J'D#=.0@u  
　　公式一： ^Op^YF+y&+  
LLBIXR*  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： t5Fe4j  
/k F{`"}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα '$]d^+{{  
swt%~#   
　　cos（2kπ＋α）= cosα :E JVpk +7  
a[w>Hp  
　　tan（kπ＋α）= tanα N1#Zp>}i  
 =+rJo^<  
　　cot（kπ＋α）= cotα k)Z2)a^T2  
3>s8CU4  
　　公式二： ldyfZ5  
Khu+5e8{  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： `{L&*MN%5h  
FG0eEB4  
　　sin（π＋α）= -sinα |#x:*SW*  
k2#;~&Kc  
　　cos（π＋α）= -cosα T\h $B Lx  
(NKs00  
　　tan（π＋α）= tanα n@5`M&5  
Y;~U,S&)U  
　　cot（π＋α）= cotα @:Y!<j+4N  
E <P&UFHf  
　　公式三： V|C-]c  
)CrHFx  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： cW k@B|  
Pv"hE_O  
　　sin（-α）= -sinα <g'u[Q[J  
r8fIgMQz  
　　cos（-α）= cosα 1hf! 8Kl  
}(|)D*@]  
　　tan（-α）= -tanα _q*R V'<<  
%h)hXbt  
　　cot（-α）= -cotα !sm*O@[  
WEon's4'  
　　公式四： v$J b KF  
8#0 d0w'  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： g!LG ZD(T  
8H JWKhF  
　　sin（π-α）= sinα \w).+XJtB  
wiG OyS  
　　cos（π-α）= -cosα =+[Q{w>s  
,r?wTg Cd|  
　　tan（π-α）= -tanα [4tC4OlD2  
#W1cvB!Y^  
　　cot（π-α）= -cotα 7{9qh  
+_Y\gKV  
　　公式五： 0wh:s./  
MM1Jq!29  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4\| YR3B  
")1w"  
　　sin（2π-α）= -sinα OZ$Zn0jI  
:D^mDy  
　　cos（2π-α）= cosα C;MNc>d  
M0>5t>W+6  
　　tan（2π-α）= -tanα 'm zk9?t&  
6#8+Z~  
　　cot（2π-α）= -cotα `etxL1#u  
. Ie>W0&I  
　　公式六： x#3)g5,;  
r/P/n-rZCu  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： f_A6|b;vL  
HeM VdRg  
　　sin（π/2+α）= cosα gJS3]\&Z  
Gmn~9:N  
　　cos（π/2+α）= -sinα y"P{eP"/  
YHr;/@i+  
　　tan（π/2+α）= -cotα RXm VVQW_a  
<^wU !nP  
　　cot（π/2+α）= -tanα i==>p-q:$  
%XG#yRuOb  
　　sin（π/2-α）= cosα MM)1`jmZ6  
El@RoxR  
　　cos（π/2-α）= sinα r%Fz{0  
^Y;-(d?  
　　tan（π/2-α）= cotα U420\[B  
PP"z( 4;  
　　cot（π/2-α）= tanα Y8*81[^$^|  
pj 4aJ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ICgn)K  
l~}`l6!  
　　cos（3π/2+α）= sinα 75] %LRo  
7[6 B<#A  
　　tan（3π/2+α）= -cotα mS;XJAk6  
lWa<&=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα yF? 'TG,5T  
e5uypzJm(  
　　sin（3π/2-α）= -cosα F"TL7%  
/'yazOW+II  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Rp7:83|{  
v-}m~\  
　　tan（3π/2-α）= cotα k>n!c35D>  
uie! D  
　　cot（3π/2-α）= tanα bKY oF TLn  
m #rl%N0n  
　　(以上k∈Z) I@5T Q`~U  
h&CedOhqb  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 } ~ (:&  
~ _h, tVo  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = U*syKhL  
woW:l/  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } l^8C}C! a  
c"Y"{m4$@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16297) |  收藏