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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 {Qh| wG  
# )r1kA%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %l|{Qc  
Okp zr 9`r  
　　1、三角函数本质： <HQ$FE'  
&ihRyqW ^  
　　三角函数的本质来源于定义 G?9kFVA  
9;cJq9N  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 %*"5s}@jg  
:;;LHyM Z_  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 *WA'D9z  
x}s3.,tK  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： <c"`pj:u$  
5#<dq^Q![  
　　推导： _ka9&g!{  
*N`hgy  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 |HK<I\*  
*0&t dKL  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \x? l1a2  
mpJ7ys  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LkR:h-#  
U yF4G"\-~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Pk<q`  
+ISKFsGT1_  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 1GaVtRs3  
+:S-!;X  
　　[1] y&" ip[s  
'8F(yXUX  
　　两角和公式 nz},I   
dv*\Dv3EE  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB {F_};TI  
tK_ElO  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  <Ilaim*YoE  
`*#b?@/E1  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB , {#nkGp=R  
(Q^+Ko7  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB O%v] 8  
6O#s A'  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) DBN"bRbdx  
S~dAL-4%  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) >>_]r=e  
4Ab6:  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  p,HR;NS<|  
eWXxpl8q8  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4SqKMV  
LFkhd%D  
倍角公式 In9}'6 g(  
ZL{DT/^,  
　　Sin2A=2SinA•CosA `n3 z#!iG  
dkjE;6Ew)  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 YOh ioG%  
M3cc$2X=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） GWd *FV  
c*RxiO@(  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7N?jH_AC  
gAkq( S  
三倍角公式 DSom4Qz  
CYL8YUFY  
　　 xI6 @Bv"  
Y/*]djv7  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) gS :wv#R@  
_R?Z>M  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) d-T;Ibe|  
e"g~Aa!O3G  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) YqH~iA}3K  
>Eezcn]Io  
三倍角公式推导 xFp*H5 L  
y4GG\@-S  
　　sin3a HmXl}H\~Ci  
Uw ^I9P.  
　　=sin(2a+a) mUk3t.:N  
f4 +GT;  
　　=sin2acosa+cos2asina %:DCf H&R  
~pozDD~&O0  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ;h D,rp%[  
sxzu1v $_  
　　=3sina-4sin³a P7O\iG%  
?t `[KBY  
　　cos3a )n,-10, *2  
%,7e2 B  
　　=cos(2a+a) XY4t$-H2  
f>!h~HXy&  
　　=cos2acosa-sin2asina i}xjI  
}64lyU 9  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 9w;) N7Y  
K,c\z3afe@  
　　=4cos³a-3cosa nsqjn:  
AozY5[  
　　sin3a=3sina-4sin³a I@d2zDH>{  
;]9G7eu|  
　　=4sina(3/4-sin²a) zABci(  
mzEGLG  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ""r,(w  
 17`|-t2  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) \P4S]?JFv_  
8e1, C  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 7}j5&j$udk  
7%"Su/ZZ  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `yxfOV 3N  
u+h> z#  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) pd7U+--  
=3t;oj  
　　cos3a=4cos³a-3cosa R\VX_JF  
|r <yxX  
　　=4cosa(cos²a-3/4) @xL b2TbF,  
R^; P/:  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *Wj^/W By  
o Px6l9W  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) (sDU.<A  
S>G?WiZ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1nUTb@  
(n8~5J-  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vq-pr @Vy  
-(F%f$"R  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) XG2+P)WH  
OxtA   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] MOIYhE#!  
prqNu/  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] F1z(m*w  
 u @n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &+{v=B'Zn  
hqBbd+of[  
　　上述两式相比可得 R1cqRB  
;X<R]b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) &"HAAGQ)  
'7;"u8}nF  
半角公式 j`gt$V+  
"'y#H`^  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); CskI$Pn  
lipf|mI2T  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. YqRFTYzq  
_[@U4Nr1  
和差化积 o#Z#OL({  
:>9^IaPM-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] "D6mKI:b  
zb1 = |:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %rcpdwSh  
Au+=fH.wi  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A&^ zBCW  
A<?K$! Qk  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >4!W_7U&  
UT+^hd  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) `'8g j88S  
f K' kZNs  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;`-bHE~!iw  
V=~e', M  
积化和差 h* lW(.  
cHa4WnI5`  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 0#,x` ky  
16tY)U+;  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] :XVakthJ  
fW e>wd  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] *KyK%b"  
!N f%(h  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] $pJ,W/  
O\Hm b>=A  
诱导公式 ~}mR :RBu}  
:1&hZPjO  
　　sin(-α) = -sinα Pry 6Wla8  
I2`fF5B /  
　　cos(-α) = cosα \=x[d9-t  
PsE#H  
　　sin(π/2-α) = cosα vn SAjDt  
dN128 $K:  
　　cos(π/2-α) = sinα )5r2 Kur@  
5B<HWR   
　　sin(π/2+α) = cosα ~t T/  
8vH/>:  
　　cos(π/2+α) = -sinα Ttkw%\p  
Joq4YfLcg  
　　sin(π-α) = sinα oOl \[#fg]  
vCo1r*_  
　　cos(π-α) = -cosα Veo5NG  
<%\<uC  
　　sin(π+α) = -sinα (p3Yb;[  
>Qb489{LY  
　　cos(π+α) = -cosα `]u=F}[ET  
^g7^2`  
　　tanA= sinA/cosA j0rn8V  
W ejR s  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα cToE|g`=  
5}(>|.eKG  
　　tan（π/2－α）＝cotα $]tovP s  
{}n*eg#  
　　tan（π－α）＝－tanα <k.f$+-  
-8.[s:K  
　　tan（π＋α）＝tanα xp_23&fDP  
0\+Z &  
万能公式 +MWCr<NZ  
bK2[K@gMK  
　　 ?9:NT  
VZv -F  
其它公式 )Dg7HpCI-  
A"D=Y!H  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 X5pT;l-  
p KC0c$Dj  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 $Y$?slfd  
!lN{'*k  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pUExyvM  
"L^$VLhcW  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 .d=Kh6dO  
^N;GyT y  
　　对于任意非直角三角形,总有 h+pIquQv;  
U_T9~!Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R _f&C&xn  
l"0?c}  
　　证: cuN.Q2e[  
g}vDz\:  
　　A+B=π-C H9[Wa@ y%  
/&]s: O.{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) He0mcyI  
npuST%HVd  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) bG>M~  
qR?^ ?eL  
　　整理可得 W!toM6#3:%  
WV\ m2;Er  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ajrm.\]A  
1EvO"o'-|  
　　得证 $Rvj2  
%rqZ&Y!  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 _91oYF</  
Ld_6 <  
其他非重点三角函数 \NF})MjN  
:t{$]6\  
　　csc(a) = 1/sin(a) X!Ur/x|!u  
*:gvp,?<<  
　　sec(a) = 1/cos(a) &T~+0M  
8uTyj9*g  
　　 Nk[k&`d;  
e^T"Yrbt  
双曲函数 `39t#PBQ  
aq+(&($  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?Ve9aty]  
;QW1jeS(  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ) wCq6(.  
Q0ZX:n  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ,B y%oH  
?XR5S #h  
　　公式一： P3`S(ws  
VwfQM*F<r  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： aMF<]yI!:P  
`GWMr+1YB  
　　sin（2kπ＋α）= sinα k 1!5J#r@7  
V{-7IO6/  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %w M~\cs  
@9LA=SrTL  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7M0tEs:tc  
7?/Iw  
　　cot（kπ＋α）= cotα aR6_~f8aC  
OesEori  
　　公式二： H qG ~mF  
x?+m2aP  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： .d#jbi2  
H/Sv$E ')  
　　sin（π＋α）= -sinα AV/sY  
9eZj$R@,+  
　　cos（π＋α）= -cosα @j:?WV"%C<  
b ' o  
　　tan（π＋α）= tanα 6:`.LfGvdK  
E<+z"51%*  
　　cot（π＋α）= cotα JVE( p3-~  
<ugD%6Tgi  
　　公式三： RBwiMFrwD2  
Wd+|fXP#  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： +7'5* J;  
:A- <Rm  
　　sin（-α）= -sinα |~<13N |1  
0eB 9Q yc  
　　cos（-α）= cosα L|s0,^  
p; OmgZ]  
　　tan（-α）= -tanα w 9(oFSL  
4\@ v{)Q  
　　cot（-α）= -cotα b]S2L<  
R>fi-c2 k  
　　公式四： Zo(_6TfNG  
G+.| VZRQ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： w:D={wE5  
sd~3!A&  
　　sin（π-α）= sinα z[IcefQ)  
VO~`P|/j  
　　cos（π-α）= -cosα QqT3mn|e  
c4D'9:<  
　　tan（π-α）= -tanα L|0m( `L3o  
nE]@  
　　cot（π-α）= -cotα ^gTx=6%o  
< 60-!v![  
　　公式五： uJRgrjC@  
]J4$1v5@  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： A|Vi?}  
&2V- v~  
　　sin（2π-α）= -sinα G+8ao(G  
?FtNsm+B  
　　cos（2π-α）= cosα 17Z4"d9h  
R0PrV7s8  
　　tan（2π-α）= -tanα p7rR h  
`W7.x\c2  
　　cot（2π-α）= -cotα .B-^W@+'  
E^Ad]!jA;  
　　公式六： GqBaY us  
Hd ?^ Q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 5"2R &f  
#! y_uu  
　　sin（π/2+α）= cosα GgC(l;!Jkw  
0tI^6T7)(  
　　cos（π/2+α）= -sinα "#dfh*|0  
G|6+hc  
　　tan（π/2+α）= -cotα <H]w$  
Y 6O%%  
　　cot（π/2+α）= -tanα t~9.&\E  
R"Iq- _T]  
　　sin（π/2-α）= cosα JmkEn  
c\W$MZX1D  
　　cos（π/2-α）= sinα B)   
  v7uLE  
　　tan（π/2-α）= cotα  TD^[e  
X 1v--  
　　cot（π/2-α）= tanα wm).S R  
V-_K>#  
　　sin（3π/2+α）= -cosα `/Vdlo~)+d  
#i^/M~  
　　cos（3π/2+α）= sinα _<^A  
g uN}HIO  
　　tan（3π/2+α）= -cotα zz%bDI}D  
L:)+W=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |> TZX.  
qQM?MHGP  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  ils+ vE  
c_-('   
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,f-5Br/C(  
o0f$ U  
　　tan（3π/2-α）= cotα J|ug;qc  
j-h;"|2BO  
　　cot（3π/2-α）= tanα x$t6J+oS  
Y0vX*j  
　　(以上k∈Z) PKsQMol  
="okS]7u  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0\Om+6*^  
U m  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $HkP_IXP  
]7O3f ]  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 0HZl[N"<  
Wu9N4mo{  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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